떡볶이 떡 만들기
문제
문제 정의
- 동빈이네 떡볶이 떡은 길이가 일정하지 않다. 대신에 한 봉지 안에 들어가는 떡의 총 길이는 절단기로 잘라서 맞춰준다.
- 절단기에 높이(H)를 지정하면 줄지어진 떡을 한 번에 절단한다. 높이가 H보다 긴 떡은 H 위의 부분이 잘릴 것이고, 낮은 떡은 잘리지 않는다.
- 예시
- 높이가 19, 14, 10, 17cm인 떡이 나란히 있고 절단기 높이를 15cm로 지정하면 자른 뒤 떡의 높이는 15, 14, 10, 15cm 가 될 것이다.
- 잘린 떡의 길이는 차례대로 4, 0, 0, 2cm 이다. 손님은 6cm만큼의 길이를 가져간다.
- 손님이 왔을 때 요청한 총 길이가 M일 때, 적어도 M만큼의 떡을 얻기 위해 절단기에 설정할 수 있는 높이의 최댓값을 구하는 프로그램을 작성하시오.
입력조건
- 첫째 줄에 떡의 개수 N과 요청한 떡의 길이 M이 주어진다.
- N: 1 이상, 1,000,000 이하
- M: 1 이상, 2,000,000,000 이하
- 둘째 줄에는 떡의 개별 높이가 주어진다. 떡 높이의 총합은 항상 M 이상이므로, 손님은 필요한 양만큼 떡을 사갈 수 있다. 높이는 10억보다 작거나 같은 양의 정수 혹은 0이다.
출력조건
- 적어도 M만큼의 떡을 집에 가져가기 위해 절단기에 설정할 수 있는 높이의 최댓값을 출력한다.
입·출력 예시 - 1
- 입력
4 6 19 15 10 17 - 출력
15
입·출력 예시 - 2
- 입력
4 7 19 15 10 17 - 출력
14
풀이
문제 해설
- 본 문제는 전형적인 이진 탐색 문제이자, 파라메트릭 서치 유형의 문제이다.
- 파라메트릭 서치: 최적화 문제를 결정 문제로 바꾸어 해결하는 기법
- 예시) 범위 내에서 조건을 만족하는 가장 큰 값을 찾으라는 최적화 문제라면, 이진 탐색으로 결정 문제를 해결하면서 범위를 좁혀갈 수 있다.
- 보통 파라메트릭 서치 유형은 이진 탐색을 이용하여 해결한다.
- 결정 문제: ‘예’, ‘아니오’로 답하는 문제
- 파라메트릭 서치: 최적화 문제를 결정 문제로 바꾸어 해결하는 기법
- 문제해결의 Key Point: 적절한 높이를 찾을 때까지 절단기의 높이 H를 반복해서 조정한다.
- ‘현재 이 높이로 자르면 조건을 만족할 수 있는가?’를 확인한 뒤에 조건의 만족 여부(‘예’ 또는 ‘아니오’)에 따라서 탐색 범위를 좁혀서 해결할 수 있다.
범위를 좁힐 때는 이진 탐색의 원리를 이용하여 절반씩 탐색 범위를 좁혀 나간다.본 문제에서 절단기의 높이 즉, 탐색 범위가 1~10억까지의 정수이다.
이처럼 큰 수를 보면 당연하다는듯이 가장 먼저 이진 탐색을 떠올려야 한다.
- ‘현재 이 높이로 자르면 조건을 만족할 수 있는가?’를 확인한 뒤에 조건의 만족 여부(‘예’ 또는 ‘아니오’)에 따라서 탐색 범위를 좁혀서 해결할 수 있다.
- 문제 해결 절차
- 이진 탐색의 시작점과 끝점 그리고 중간점을 아래와 같이 설정한다.
- 시작점: 0 (가장 짧은 떡의 길이)
- 끝점: 배열 N에서 가장 큰 수 (가장 긴 떡의 길이)
- 중간점: (시작점+끝점)/2
소수점 이하는 버린다.
- 중간점을 절단기의 높이 H로 취급했을 때, 잘리는 떡의 길이 (결과값)를 계산한다.
결과값 < M인 경우:
절단되는 떡의 길이를 증가시켜야하므로, 절단기의 높이를 낮춰야 한다.
그러므로 끝점을 (‘중간점의 값’+1)로 설정한다. 그리고 중간점을 ((‘시작점’+’끝점’)/2)로 설정한다.결과값 >= M인 경우:
절단되는 떡의 길이를 감소시켜야하므로, 절단기의 높이를 증가시켜야 한다.
그러므로 시작점을 (‘중간점의 값’-1)로 설정한다. 그리고 중간점을 ((‘시작점’+’끝점’)/2)로 설정한다.
결과값과 M이 정확히 일치하지 않을 수 있다. 이때는 결과값이 M보다 큰 최소값이어야 한다.
- 시작점이 끝점보다 클 때까지 2번을 반복한다.
- 결과적으로 중간점이 정답으로 도출된다.
- 이진 탐색의 시작점과 끝점 그리고 중간점을 아래와 같이 설정한다.
- 시간복잡도
- 잘린 떡의 총 길이를 구하는 시간:
O(N) - 이진 탐색으로 절단기의 높이를 구하는 시간:
O(logK) (이때 K는 떡 길이의 최댓값) - 따라서 총 시간복잡도는
O( N * logK )이다.
- 잘린 떡의 총 길이를 구하는 시간:
소스코드
public class 떡볶이_떡_만들기 {
private static void solution1(long[] n, long m) {
long start = 0L; //시작점
long end = Arrays.stream(n).max().getAsLong(); //끝점
long middle = (end+start)/2; //중간점
long height = middle; //절단기의 높이 (중간점이 절단기의 높이가 된다.)
while (start <= end) {
long resultLength = getResultLength(n, height); //잘린 떡의 총 길이 구하기
if (resultLength >= m) {
start = middle + 1;
} else if (resultLength < m) {
end = middle - 1;
}
middle = (end+start)/2;
height = middle;
}
System.out.println(height);
}
/**
* 절단기 높이에 따라, 잘린 떡의 총 길이를 구하는 메서드
*/
private static long getResultLength(long[] n, long height) {
long resultLength = 0L; //절단기의 높이에 따라, 구해질 떡의 총 길이 (결과)
for (int i = 0; i < n.length; i++) {
if (n[i]-height > 0)
resultLength += n[i]-height;
}
return resultLength;
}
public static void execute() throws Exception {
BufferedReader bf = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
String s = bf.readLine();
StringTokenizer st = new StringTokenizer(s);
int sizeOfN = Integer.parseInt(st.nextToken());
long m = Long.parseLong(st.nextToken());
long[] n = new long[sizeOfN];
s = bf.readLine();
st = new StringTokenizer(s);
for (int i = 0; i < sizeOfN; i++) {
n[i] = Long.parseLong(st.nextToken());
}
TimeCheck.start();
solution1(n, m);
TimeCheck.end();
}
}
- 나동빈, 『이것이 코딩 테스트다』