컴퓨터 산술

산술논리연산장치 (ALU)

중앙처리장치(CPU)의 구성

산술논리연산장치
- ALU
- 산술 및 논리 연산을 수행한다.
레지스터
제어장치

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ALU 내부 구성 요소

산술 연산장치
- +, -, *, / 등을 수행한다.
논리 연산장치
- AND, OR, XOR, NOT 등을 수행한다.
시프트 레지스터
- 비트들을 좌우측으로 이동
보수기(complementer)
- 2진 데이터를 2의 보수로 변환한다.
- 음수를 만드는 역할을 한다.
상태 레지스터(status register)
- 연산 결과의 상태를 나타내는 플래그(flag)들을 저장한다.

ALU의 연산 동작 예시

ADD AC, B 연산
- AC ← AC + B 라는 의미이다.
- AC: 누산기(레지스터의 일종)
연산과정
1. TEMP1 ← AC
2. TEMP2 ← B
3. AC ← TEMP1 + TEMP2

정수 표현

10진수의 개념

![(724){10}=7*10^2+2*10^1+4*10^0](https://latex.codecogs.com/svg.image?(724){10}=710^2+210^1+4*10^0)

2진수의 개념

10진수의 관계는 2의 승수 ( $2^N$ )로 표현한다.
$2^N$

16진수의 개념

2진수를 4비트씩 나누어 16진수로 표현한다.
- 0000 ⇒ 0
- 1111 ⇒ F
$2^N$

진법 변환

10진수를 2진수로 변환하기
- 연속적으로 2로 나눗셈을 수행하면서 얻어지는 나머지에 의해서 만들어진다.
- 예시
  - 결과: 101001

2진수를 10진수로 변환
- $2^N$

음수의 표현

최상위 비트를 부호 비트로 사용한다.
- 0: 양수
- 1: 음수
음수 표현 방법
- 부호 크기 표현
- 보수 표현

부호 크기 표현

비트 구성요소
- 최상위 비트 = 최상위 비트
- 나머지 비트 = 수의 크기
- 예시) +9 = 0 0001001
문제점
- 0의 표현이 2개 존재하므로, 표현할 수 있는 수의 개수가 줄어든다.
  - 0 0000000 = +0
  - 1 0000000 = -0
- 따라서, n개의 비트로 표현할 수 있는 수가 $2^N$ 이 아니라, $2^N$ 이다.

보수 표현

음수 = 양수를 표현하는 비트에 2의 보수를 취한 것
보수 종류
- 1의 보수: 모든 비트들을 반전시킨다.
- 2의 보수: 1의 보수 + 1
- 예시)
  - $2^N$
  - 1의 보수: $2^N$
  - 2의 보수: $2^N$
‘2의 보수로 표현된 2진수(음수)’를 10진수로 변환하는 방법
- 양수로 변환하여 10진수를 구한 뒤, 그 결과값에 ‘-‘ 부호를 붙인다.
- 예시)
  - $2^N$
  - $2^N$
  - -9의 2의 보수 = $2^N$
  - 여기에 ‘-‘를 붙인다. ⇒ $2^N$

수의 표현 범위

2의 보수로 표현된 n비트 데이터의 표현할 수 있는 수의 범위는 아래와 같다.
- $2^N$
- 0이 존재하므로 $2^N$ 에 1을 빼야한다.

비트에 따른 수의 범위와 최대값과 최소값의 표현
- 8비트 2의 보수
  - $2^N$
- 16비트 2의 보수
  - $2^N$

비트 확장

비트 확장이란, 부호가 있는 데이터의 비트 수를 늘리는 연산이다.
부호화-크기 표현에 비트 확장 연산하기
- +18 = 00010010 (8비트)
- +18 = 00000000 00010010 (16비트)
- -18 = 10010010 (8비트)
- -18 = 10000000 00010010 (16비트)
2의 보수 표현에 비트 확장 연산하기
- +18 = 00010010 (8비트)
- +18 = 00000000 00010010 (16비트)
- -18 = 11101110 (8비트)
- -18 = 11111111 11101110 (16비트)

정수의 산술 연산

음수화

양수를 음수로 표현하고자 할땐, 2의 보수를 취하여 표현하면 된다.
예시)
- $2^N$
- $2^N$

2의 보수로 표현된 수들의 덧셈

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오버플로우
- 위의 그림은 총 4비트를 갖는 수에 대한 연산을 나타낸 것이다.
- 4비트로 표현할 수 있는 수의 범위 = -8 ~ +7
- $2^N$ 의 경우, 연산 결과로 9가 나온다.
- 9는 4개의 비트로 표현할 수 없는 수이다. 따라서, Overflow가 발생한다.

2의 보수로 표현된 수들의 뺄셈

감수와 피감수
- A - B
- A: 피감수
- B: 감수
뺄셈을 하기 위해선, 감수의 보수를 취한 뒤 그것을 피감수와 더한다.

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2의 보수 정수들의 기하학적 표현

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오버플로우 예시
- 총 4비트를 갖는 수에 대해 연산을 했을 때, 오버플로우가 발생하는 상황에 대해 알아보자.
- $2^N$ 의 경우, 연산 결과로 9가 나온다.
- 9는 4개의 비트로 표현할 수 없는 수이다. 따라서, Overflow가 발생한다.
- 이 경우, $2^N$ 의 결과로 -7이 도출된다.
- 왜냐하면 위 그림에서 덧셈 회전방향으로 회전시, +7 이후는 -8이기 때문이다.

덧셈/뺄셈 하드웨어 흐름

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곱셈

피승수
- 곱해지는 수
- M
승수
- 곱하는 수
- Q
예시
- 5 * 10
- 피승수: 5
- 승수: 10

부호가 없는 경우의 곱셈의 예
- 4비트의 두 수가 서로 곱셈을 수행하면, 2배인 8비트의 길이의 결과를 출력한다.
- 컴퓨터에서의 계산 예시
- 부호없는 2진 곱셈 흐름도

부호있는 두 수의 곱셈: Booth 알고리즘
- 연산 순서
  1. 승수와 피승수를 Q와 M 레지스터에 저장
  2. 의 오른쪽에 라는 한 비트 레지스터 추가
    - $2^N$ : Q 레지스터의 LSB (가장 오른쪽 비트)
  3. 와 가 같은 경우
    - $2^N$ , $2^N$ , $2^N$ 레지스터의 모든 비트를 우측으로 반 비트씩 산술시프트한다.
  4. 와 가 0 , 1 인 경우
    - 피승수를 $2^N$ 에 더한다.
    - 그리고 우측 산술시프트 한다.
  5. 와 가 1 , 0 인 경우
    - $2^N$ 로부터 피승수를 뺀다.
    - 그리고 우측 산술시프트 한다.

나눗셈

피제수
- 나눠지는 수
- Q
제수
- 나누는 수
- M
음수에서의 나눗셈
- 피제수 = 제수 * 몫 + 나머지
- 7 / -3
  - 7 = -3 * -2 + 1
- -7 / -3
  - -7 = -3 * 2 - 1

부호없는 2진 나눗셈 흐름도

나눗셈 예시: 7/3

부동소수점 표현

소수점 표현의 종류

고정소수점 표현 방식
- $2^N$
- 매우 큰 수 및 매우 작은 수의 표현이 불가능하다.
부동소수점 표현 방식
- 과학적 표기의 지수를 사용하여 소수점의 위치를 이동시킬 수 있는 표현 방법이다.
- 표현의 범위가 확대된다.
- 십진수에 대한 부동 소수점 표현 예시
  - $2^N$
  - $2^N$
  - $2^N$
  - $2^N$

부동소수점 수의 표현법

- S : 가수 (significand)
- B : 기수 (base)
- E : 지수 (exponent)

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정규화된 표현

지수의 값에 따라, 동일한 수에 대한 부동소수점 표현이 여러가지 존재한다.
- 예시)
  - $2^N$
  - $2^N$
  - $2^N$
따라서 부동소수점의 수를 통일되게 표현해야 한다. ⇒ 정규화된 표현
- $2^N$
- 무조건 앞은 1이 위치해야 한다.
예시
- 정규화 X
  - $2^N$
- 정규화 O
  - $2^N$

가수

정규화된 표현에서 가수의 맨 좌측 비트는 항상 1로 정해져 있으므로 가수 필드에 저장할 필요가 없다.

기수

기수는 묵시적이며, 모든 수에 동일하므로 저장할 필요가 없다.
즉 2진수로 저장되므로, 기수는 무조건 2이다.

지수 (바이어스된 표현)

지수는 부호를 가지므로 이에 대한 표현이 필요하다.
- 따라서, 바이어스된 표현을 사용하여 필드에 저장한다.
바이어스된 표현
- 필드에 저장시
  - (본래 지수값) + 127
- 필드에서 추출시
  - (저장된 바이어스된 지수값) - 127

보통 바이어스화 할 때, 127를 더한다.

예시
- 지수값: $2^N$
- 바이어스된 지수 표현:
  - 즉, $2^N$ 대신 $2^N$ 로 필드에 저장한다.

부동소수점 표기 연습문제 (1)

문제
- 10진수 -13.625를 32비트 부동소수점 형식으로 표현하라.
풀이
- - $2^N$ 에서 1 추출 ⇒ 소수점 첫번째 자리
  - $2^N$ 에서 0 추출 ⇒ 소수점 두번째 자리
  - $2^N$ 에서 1 추출 ⇒ 소수점 세번째 자리
  - 따라서, 소수점 부분은 $2^N$
- 부호비트: 1 (음수)
- 가수부: $2^N$ (좌측의 1은 제외한다.)
- 지수부: $2^N$ ⇒ $2^N$ (바이어스 더하기)
- 결과

부동소수점 표기 연습문제 (2)

문제
- 32비트 부동소수점으로 표현된 아래 수에 대한 10진수는?
- 0 10000011 101 0000 0000 0000 0000 0000
풀이
- 부호비트: 0 (양수)
- 가수부: ⇒
  - 생략된 1 다시 가져오기
- 지수부: $2^N$
- 결과
  - $2^N$

전형적인 32비트 형식으로 표현 가능한 수의 범위

정수
- $2^N$ ~ $2^N$
- 총 $2^N$ 가지의 수를 표현할 수 있다.
부동소수점수
- $2^N$ ~ $2^N$
- $2^N$ ~ $2^N$

부동소수점의 밀도

비트할당 문제
- 표현하는 수의 범위와 정밀도를 결정해야 한다.
- 지수 필드의 비트 수가 늘어날 때
  - 소수점을 이동시키는 범위가 커져서 표현 가능한 수의 범위가 확장된다.
- 가수 필드의 비트 수가 늘어날 때
  - 이진수로 표현할 수 있는 수가 많아져서 정밀도가 증가한다.

IEEE 754 formats

IEEE 754 formats 은 부동 소수점 비트 포멧의 표준이다.
32비트
64비트

부동소수점의 산술연산

개요

가수와 지수의 연산을 분리해서 수행한다.
덧셈과 뺄셈
- 지수를 같은 값으로 조정한 후, 가수들에 대해 덧셈과 뺄셈을 수행한다.
- 이때 지수는 “피연산자들의 지수 중 큰 것으로 통일”한다.
곱셈과 나눗셈
- 가수끼리는 곱셈과 나눗셈을 수행한다.
- 곱셈
  - 지수 연산 시 덧셈
- 나눗셈
  - 지수 연산 시 뺄셈

부동소수점 수의 덧셈과 뺄셈

절차
1. 피연산자들이 0인지 검사한다.
2. 두 수의 지수들을 같아지도록 가수의 자리수를 조정한다.
  - 큰 값으로 조정한다.
3. 가수들 간에 덧셈/뺄셈을 수행한다.
  - 가수들의 부호를 고려해서 더해진다.
4. 결과를 정규화한다.
  - 가장 왼쪽 비트가 0이 아닐 때까지, 좌측으로 쉬프트시킨다.
이진수의 부동소수점 수의 덧셈 예시

부동소수점 수의 곱셈

가수끼리는 곱셈 연산을 수행하고 지수끼리는 덧셈을 수행한다.
연산 워크플로우

부동소수점 수의 나눗셈

가수부분은 나눗셈 연산을 수행하고, 지수부분은 뺄셈 연산을 수행한다.
연산 워크플로우

논리 연산

개요

ALU에서 L에 해당되는 연산이다.

마스크 연산

원하는 비트들을 선택적으로 clear(0으로 만들기)하는데 사용하는 연산이다.
A 레지스터의 상위 4비트를 0으로 clear하는 경우의 예시

비교 연산

두 데이터를 비교하는 연산이다.
대응되는 비트들의 값이 같으면, 해당 비트를 0으로 설정한다.
대응되는 비트들의 값이 다르면, 해당 비트를 1으로 설정한다.
모든 비트들이 같은 경우, Z 플래그 (zero 플래그)를 1로 설정한다.

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산술적 쉬프트

쉬프트 과정에서 부호 비트는 유지하고, 수의 크기를 나타내는 비트들만 쉬프트한다.
쉬프트 종류
- 산술적 좌측-쉬프트
  - D4(불변) , D4←D3 , D3←D2 , D2←D1
- 산술적 우측-쉬프트
  - D4(불변) , D4→D3 , D3→D2 , D2→D1

예시

성결대학교 컴퓨터 공학과 최정열 교수님 (2021)
William Stalling, 『컴퓨터시스템구조론(10판)』

본 게시글은 위 강의 및 교재를 기반으로 정리한 글입니다.